Теория электрической связи (II)


Теория электрической связи - часть 25


.

 

Из полученного результата вытекают следующие выводы:

  • Отклик СФ на «свой» сигнал с точностью до постоянного коэффициента совпадает с его корреляционной функцией.
  • Длительность отклика на «свой» сигнал всегда равна 2Т.
  • СФ не восстанавливает форму сигнала, искаженного шумом. Его задача создать один отсчет y(t0), по которому можно наилучшим образом судить о присутствии на входе «своего» сигнала.

 

4. СФ обеспечивает наибольшее отношение сигнал/шум (с/ш) на своем выходе при действии на входе аддитивной смеси «своего»  сигнала и центрированного нормального белого шума

 со спектральной плотностью мощности N=NО/2.

Докажем это, уточнив предварительно, что под отношением с/ш на выходе СФ понимают отношение математического ожидания отсчета случайной реакции СФ Y(t) в момент времени t0 = T  к корню из ее дисперсии

.                                          (6.16)

Рассмотрим произвольный линейный фильтр с передаточной функцией

. Поскольку
 представляет собой отсчет реакции ys(T) на математическое ожидание воздействия, каковым является сигнал s(t), то

.

Полученное выражение представляет собой не что иное, как скалярное произведение

 двух векторов
 в комплексном пространстве Гильберта, если иметь в виду следующие соответствия:

.

Вычислим дисперсию случайной величины

       Подставляя полученные результаты в выражение (6.16) и применяя неравенство Коши-Буняковского-Шварца

,

имеем

.

Наибольшее значение с/ш  (равенство в полученном выражении) достигается при совпадении векторов

, т. е. для случая использования СФ, что и требовалось доказать. Это чрезвычайно важное свойство некоторые авторы закладывают в основу определения СФ.

Найдем саму величину отношения с/ш на выходе СФ при действии на его входе «своего» сигнала

,                 (6.17)

где  Е – энергия «своего» сигнала,

       NО – односторонняя спектральная плотность мощности шума,

      

.

Таким образом, максимальное отношение с/ш на выходе СФ определяется энергией «своего» сигнала, независимо от его формы.




- Начало -  - Назад -  - Вперед -