Теория электрической связи (I)


Теория электрической связи - стр. 15


Наиболее компактной является запись ряда Фурье в комплексной форме

,                            (2.4)

где  

.

Комплексный спектр (2.4) можно интерпретировать как представление x(t) в виде сумм спектральных составляющих

, каждая из которых представляет собой пару гармонических колебаний с половинной амплитудой
 на положительной (+|k|w1) и отрицательной (–|k|w1) частотах. Для вещественных функций x(t)

 – амплитудный спектр – чётная функция частоты,

 – фазовый спектр – нечётная функция частоты.

Сопоставляя (2.2) и (2.4) с (2.1), нетрудно убедиться, что ряд Фурье является частным случаем обобщённого ряда Фурье при выборе в качестве базиса совокупности тригонометрических

или экспоненциальных
 функций.

Выводы

1.       Математическим аппаратом спектрального анализа периодических сигналов являются ряды Фурье.

2.       Спектры периодических сигналов дискретные (линейчатые), представляют собой совокупность амплитуд и фаз гармонических колебаний (составляющих) следующих по оси частот через интервалы ?f  = f1 = 1/T.

3.       Ряд Фурье является частным случаем обобщенного ряда Фурье при использовании в качестве базиса

  или  
.

 

Спектры Т-финитных сигналов

Т-финитными называют ограниченные по времени сигналы. По определению они не могут быть периодическими и, следовательно, к ним не применимо разложение в ряды Фурье.

Чтобы получить адекватное описание таких сигналов в частотной области используют следующий прием. На первом этапе от заданного сигнала x(t), имеющего начало в точке t1 и конец в точке t2 переходят к сигналу xп(t), являющемуся периодическим повторением x(t) на бесконечной оси времени с периодом 

. Сигнал xп(t) можно разложить в ряд Фурье

,

 где

.

Введём в рассмотрение текущую частоту

 и спектральную плотность амплитуд
.

Тогда                

.

Исходный сигнал x(t) можно получить из xп(t) в результате предельного перехода Т® ¥ .

При этом

,   å ® ò ,
,




- Начало -  - Назад -  - Вперед -