Теория электрической связи (I)


Теория электрической связи - стр. 11


Благодаря введению базиса операции над векторами превращаются в операции над числами (координатами)

.

Если в линейном пространстве L можно отыскать n линейно независимых векторов, а любые n + 1 векторов зависимы, то nразмерность пространства L (dim L = n).

 

Нормированные пространства

Следующий наш шаг в совершенствовании структуры пространства сигналов – объединение геометрических (характерных для метрических пространств) и алгебраических (для линейных пространств) свойств путем введения действительного числа, характеризующего «размер» элемента в пространстве. Такое число называют нормой вектора и обозначают

.

В качестве нормы можно использовать любое отображение линейного пространства на действительную ось, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1)

,       
 = 0,

2)

,

3)

.

 

Пространства со скалярным произведением

Введем еще одну дополнительную геометрическую характеристику (операцию) в пространстве сигналов в виде отображения упорядоченной пары векторов на поле скаляров из F. Эту операцию называют скалярным (внутренним) произведением векторов и записывают в виде

, т.е.

           

.

Скалярное произведение должно удовлетворять следующей системе аксиом (над полем комплексных чисел):

 

1)    

                              эрмитова симметрия,

2)    

               дистрибутивность,          

3)    

                         ассоциативность, 

4)    

,                                      если
.

 

Из этих аксиом следует, что

.

Если

, то векторы
 и
 ортогональны 
.

Если

  (?ij  – символ Кронекера: ?ij = 1    при i = j и ?ij = 0 при i ? j), то система векторов
ортонормированная. Легко показать, что система ортонормированных векторов – линейно независимая.

В линейном пространстве со скалярным произведением целесообразно норму и метрику определять через скалярное произведение

 

,   
.

Весьма важное значение имеет соотношение, называемое неравенством Коши-Буняковского-Шварца

.

На основе скалярного произведения можно ввести понятие угла j между двумя векторами, исходя из соотношения   




- Начало -  - Назад -  - Вперед -